A Beckman Quarles Type Theorem for Plane Lorentz by Benz W.

February 23, 2017 | Geometry And Topology | By admin | 0 Comments

By Benz W.

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A) Seien Oi , i ∈ I, offene Teilmengen von T und S ⊂ i∈I Oi . Dann ¨ von T , die nach bilden die Oi zusammen mit T \ S eine offene Uberdeckung n Voraussetzung eine endliche Teil¨ uberdeckung besitzt. Also gilt S ⊂ k=1 Oik mit geeigneten Oi1 , . . , Oin . (b) Wir zeigen, dass T \ S offen ist. Sei dazu t ∈ T \ S; wir werden eine Umgebung V von t mit V ∩ S = ∅ konstruieren. Zu s ∈ S w¨ahle disjunkte offene Umgebungen Us von s und Vs von t. Insbesondere gilt S ⊂ s∈S Us , also auch n n ur geeignete s1 , .

Das Auswahlaxiom impliziert, dass Tα nicht leer ist. Nun beschreiben wir die Produkttopologie. Eine Teilmenge ur alle t ∈ O endlich O ⊂ Tα heißt offen (in der Produkttopologie), wenn es f¨ viele Indizes α1 , . . , αk und in Tαj offene Mengen Oαj (j = 1, . . , k) mit t∈ s∈ Tα : s(αj ) ∈ Oαj ∀j = 1, . . , k ⊂ O gibt. ) F¨ ur A = R und Tα = R f¨ von Tα nach Konstruktion mit der Topologie der punktweisen Konvergenz auf RR u ¨berein. Die Produkttopologie hat folgende Eigenschaften. 8 Bezeichnet πβ die kanonische Abbildung Tα → Tβ , t → t(β), so ist eine Abbildung f : S → Tα (S ein topologischer Raum) genau dann stetig, wenn es alle πβ ◦ f : S → Tβ sind, und ein Netz (ti )i∈I konvergiert genau dann in Tα gegen t, wenn alle πβ (ti ) i∈I in Tβ gegen πβ (t) konvergieren.

6) von 2. Kategorie in sich; also enth¨alt eines der En einen (bzgl. O und deshalb auch bzgl. T ) inneren Punkt. Es existieren also ein N ∈ N und eine offene Menge ∅ = U ⊂ EN . Indem man zum Grenzwert j → ∞ u ¨ bergeht, sieht man, dass |fN (t) − f (t)| ≤ ε/4 ∀t ∈ U. Indem man U , falls notwendig, verkleinert, darf man wegen der Stetigkeit von fN auch |fN (s1 ) − fN (s2 )| ≤ ε/4 ∀s1 , s2 ∈ U annehmen. Also ist f¨ ur s1 , s2 ∈ U |f (s1 ) − f (s2 )| ≤ |f (s1 ) − fN (s1 )| + |fN (s1 ) − fN (s2 )| + |fN (s2 ) − f (s2 )| ε ε ε ≤ + + 4 4 4 und daher ω(t) < ε f¨ ur alle t ∈ U .

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